Параметрмен берілген есептердің шығарылу жолдары

86

Параметрмен берілген есептердің шығарылу жолдары

Параметрмен берілген есептер мектеп курсында аз қамтылған, сондықтан оларды шығару студенттерге қиындық туғызады. Колледж студенттері оқу жоспарына сәйкес қосымша шығармашылық тапсырмалар орындайды.

Болашақ еңбек қызметіне қажет дәстүрлі ғылыми әдістер мен құралдарды пайдаланады.

Студенттердің жеке тұлғасын, рухани әлемін, ынтасы мен қабілетін дамыту үшін өздігінше ізденіп жұмыс істеуге, білім сапасын жақсартуға арналған әдістемелік құрал.

 

 № 1.  x |x – 2a| — 3a + 2 = 0 теңдеудің а-ның қандай мәнінде бір түбірі болады?

 

Шешуі:  y = x |x – 2a| — 3a + 2 функциясын қарастырайық. Оның графигі екі параболаның бөлігінен тұрады. Егер x ≥ 2a болса, онда y = x2 – 2ax – 3a + 2.

Егер x < 2a болса онда  y = — x2 + 2ax – 3a + 2.

 

a ≥ 0 және 2a < x < a аралығында y = x |x – 2a| — 3a + 2 өседі; ал [a; 2a] аралығында кемиді.

a < 0  және a < x < 2a аралығында функция өседі; [2a; a] аралығында кемиді.

y(a) y(2a) > 0 болғанда

(a |a| — 3a + 2) (- 3a + 2) > 0

1) a |a| — 3a + 2 = 0

 

Егер a ≥ 0, онда a2 – 3a + 2 = 0, a1=1, a2=2

 

Егер a < 0,  — a2 – 3a + 2 = 0, a3= — 1/2 (3+√17)

 

2) – 3a + 2 = 0, a = 2/3

 

                                       Жауабы:    -1/2 (3+√17) < a < 2/3; 1 < a < 27

 

 

№ 2.  x2 + 5 |x + 1| + 3|x — a| + a = 0 теңдеуінің а-ға байланысты неше түбірі  болады?

Шешуі:  Жазықтықта теңдеуді қанағаттандыратын барлық (x;a)                                                                            нүктелерін салайық.

Егер xa болса, онда a = 1/2 (x2 + 8x + 5).

 

Егер x < a болса, онда  a = — 1/4 (x2 + 2x + 5).

 

АВ нүктелері екі параболаның a = x түзуімен

қиылысу нүктелері. Осыдан

олай болса теңдеудің екі шешімі бар:

a-ның қалған мәндерінде теңдеудің түбірі жоқ.

 

 

 № 3.  х-ке қатысты шешімін табыңыз.

 

+=

мағынасы бойынша (m-1)(х+3)0 деп аламыз. m1, х-3.

Теңдіктің екі жағын да (m-1)(х+3)0 көбейтеміз, одан шығады:

(4m-9) х=31-2m.

Осыдан m2,25; х=

Енді тексеру қажет: m-нің қандай мәндерінде х-тің мәні -3-ке тең болады?

=-3, мұндағы m=-0,4.

m1, m2,25, m-0,4 болғанда теңдеудің бір түбірі болады.

х=

m=2,25 және m=-0,4 болғанда шешімі жоқ, m=1 болғанда теңдеудің мағынасы жоқ.

Есте сақтау қажет:

Кез келген параметр мәнінде m=m берілген теңдеудің мағынасы жоқ және әрине, түбірі де жоқ. Кері тексеру дұрыс емес. Мысалы, m= -0,4 шешілген теңдеудің шешімі жоқ. Егер теңдеуге m= -0,4 (1) қойсақ, нәтижесінде анықталған теңдеу:

+= (2)

m= -0,4 болғанда теңдіктің мағынасы бар. Бірақ теңдеудің түбірі жоқ, х=-3 теңдеу 53х=-159, бұған теңдік (2) сәйкес келеді.

 

 

№ 4.    х-ке қатысты шешімін табыңыз:

=х-b.

ха кезінде 0 болғандықтан теңдіктің түбірі тек мына шартты қанағаттандыратын сан ғана болуы керек:

Егер теңдіктің екі жағын квадраттасақ  х-а=(х-b) теңдігін аламыз, кез-келген түбір (болған жағдайда) ха қанағаттандырады. Сондықтан теңдік мына жүйеге тең болады:

немесе

D —  теңдеудің дискриминанты.

х-(2b+1), х+а+b=0 (1,а)

D=0, мұнда b=а-0,25, теңдік (1,а) екі түбір болады. x1=x2 =b +0.5

D>0, мұнда b>a-0,25 болғанда

х=0,5(2b+1)-,

х=0,5(2b+1)+,

х<хболады.

х және х түбірлерінің қай жағдайда хb қанағаттандыратынын анықтау үшін мына функцияны қарастырамыз.

ƒ(х) =х2 –(2b+1) х+а+b2,

ƒ(b) =а-b. Мұнда а-0,25<b<а, ƒ(b)>0.

Енді бұл жағдайда b <b+0,5, b+0,5 түбірдің жартысы көпмүшенің ƒ(х), онда b < х < х.

Осыдан шығады, а-0,25 <b <а болғанда х және х теңдіктен шыққан түбірлер болады. (1)

b =а теңдік (1) мынадай болады.

=х-b

х=b, х=b+1

мұнда b>а ƒ(b)<0. Сондықтан  х<b<х шешуі тек х болады. Бұдан біз жауабын аламыз. b

   b(а, ∞)

                     b(-; а= -0,25) шешімі жоқ

 

№ 5.

(а-1) cos х+(а+1) sin х=2а   (1)

Шешуі: Теңдеудің мынадай күйге келтіреміз.

(3а-1) sin2  (0,5х) -2(а+1) sin (0,5х) cos (0,5х) +(а+1) cos2 (0,5х) =0

Егер  а = деп алғанда:

 sin(0,5х) cos(0,5х) + cos2 (0,5х) =0

немесе

сos(0,5х)( cos(0,5х) -2 sin(0,5х)) =0.

Бұл теңдеу мынадай өзара тең 2 теңдеулерге тең: сos(0,5х) =0 бірнеше шешуі бар. х =π(2п+1) және cos(0,5х) -2 sin(0,5х) =0 теңдеуіне тең.

tg (0,5х) =0,5

Теңдеудің бірнеше түбірлері бар.

деп қарастырғанда

 

, яғни  болған жағдайда

 

 

 

Сонымен, а = кезінде теңдеудің екі түбірлер жиыны болады:

және

кезінде

 

кезінде шешімі болмайды.

 

№ 6.

, a>0, b>0

Егер a=b=1 болса, х – кез-келген нақты сан. Егер a= 1  және b≠1 болса, х=3;  егер a≠ 1  және b=1болса, х=-1.

a≠ 1  және b≠1 болғанда

немесе

 

Ал,  болғанда  теңдіктің оң жағы -4-ке тең болады. Бұдан,  болғанда шешімі жоқ.

Ал,  болғанда

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер

 

  1. И.Ф.Шарыгин «Факультативный курс по математике»
  2. Г.А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами»