Формулалар жинағы

645

Формулалар жинағы

I. ТІКБҰРЫШТЫ ҮШБҰРЫШ

 

      a, b – катетер,  c – гипотенуза.    ,  h – биіктік, 

 

 

 

                                                                     C

 

 

 

                              

                                               b                                                a 

                                                                        

                                                                           h

                                                                            

 

 

 

 

  A                                                                                                             B

 

                                                           D

 

  —  жарты периметр.

 

 

1.  b2 = c · cb

       a2 =  c · ca

Катет  —  гипотенузасы мен катетің гипотенузадағы проекциясының геометриялық орташасы
2.  h2 =  ca · cb Тік бұрыштың төбесінен гипотенузаға түсірілген биіктік – гипотенузадағы биіктік табаны бөліп тұрған кесінділердің геометриялық орташасы
3.  a2 + b2 = c2 Катетер квадраттарының қосындымы гипотенузаның квадратына тең
4. егер  болса, онда 30˚ — қа  қарсы катет гипотенузаның жартысына тең
5.    Сырттай сызылған шеңбердің радиусы  Формуласымен анықталады
6. Іштей сызылған шеңбердің радиусы  және  формуласымен анықталады
7. Ауданы   және   формулаларымен анықталады

 

II. Қиғашбұрышты  үшбұрыш

 

   ;  —  сүйір бұрыштар, СD – биіктік, АВ – табаны.

a2 = c2 + b2 – 2ccb

b2 = c2 + a2  — 2cca

Cүйір бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның квадраты, былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысының табаны мен бүйір қабырғасының табанындағы проекциясының екі еселенген көбейтіндісін  азайтқанға тең.

 

                   С

 

 

 

                                                              b                                          a

                                                                                        h

 

 

 

                                   А                                cb                          ca                            В

 

            D

 

 

 

доғал бұрыш     b2 = a2 + c2 +2a1c     Доғал бұрышқа қарсы жатқан квадраты, былайғы екі қабырғасы квадраттарының  қосындысына табаны мен екінші бүйір қабырғасының табанындағы проекциясының екі еселенген көбейтіндісін қосқанға тең

 

 

                                          C

 

 

 

                                                          b                  a

                                                                                           h

 

 

 

                                                                                            D

                         А                      c             B          a1             

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

Ауданды анықтайтын формулалар

 

,    ,  .

 

 

,

 Saауданы

Сыртай сызылған шеңбердің центрі қабырғаларынығ орта перпендикулярларының қиылысу нүктесінде жатады да, радиусы

   формуласымен анықталады

 

 S – ауданы

 pжарты периметр

Іштей сызылған шеңбердің центрі биссектрисалардың  қиылысу нүктесінде жатады да, радиусы   формуласымен анықталады

 

 

Бисектрисаны есептеу формулалары

               С

 

        b        lc     a

 

А                               В

      b1    D       a1

Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы табанын іргелес қабырғаларына пропорционал бөліктерге бөлінеді: lc –биссектриса

 

a)        б)  

 

         

 

 

C

 

                        a

               o             N

 

A                               B

M

AN, CM – медианалар.  Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады жіне төбесінен бастап есептегенде сол нүктеде 2 : 3 қатынасында бөлінеді.

Медиана    формуласымен есептеледі

 

 

ha,  hb,  hc –  cәйкес қабырғаларына түсірілген биіктік

    формулаларын пайдаланып тапсақ:

  :

 r –  іштей сызылған шеңбер радиусы

 

 

 

 

 

 

III. ТӨРТБҰРЫШТАР

 

   

 B

 

    A         O           C

 

 
D

Ромб

 

Ромбының диогналдары өзара перпендикуляр және бұрыштарын қақ бөледі

 

 

   Ромбының ауданын есептейтін формулалар

 

 

       A                        B  

 
                    o

     b      h

 

 

D                         C

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

AC2 + BD2 = 2a2 + 2b2

Диогналдарының киадраттарының қосындысы, оның барлық қабырғаларының киадраттарының қосындысына тең

 

Ауданы  S = ah формуласымен анықталады

 

 

        B      b      C

 
     M     h              K

             

  A                           D

a

 

Трапеция

; Трапециярың орта сызығы табандарының қосындысының жартысына тең

Ауданы    формуласымен анықталады

 

 

 

                 b

      B                   C

      c                     d

                  •  O

 

A                              B

a

Трапеция

 a +b = c+d. Егер трапецияға іштей шеңбер сызылған болса, онда табандарының қосындысы бүйір қабырғаларының қосындысына тең болады

 

             C         D

 

 
      A             •            B

 

 

      

 

 

 
A               E

 

B                                   M

                 C

 

 

    

 

 

B             D

                                    A

         •O

                    E

C

 

 

     

 

 

1 – ден 10 – ға дейінгі натурал сандардың квадраттары және кубтары

 

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
N3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

 

2  және 3 сандарының дәрежелері

 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

 

10 – нан 99 – ға дейінгі натурал сандардың квадраттарының кестесі

Ондық-

тар

бірліктер
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

 

 

 

бұрыш  

Радианмен ( градуспен ) берілген бұрыштың мәнә

функция 0

 

( 0˚)

(30˚) (45˚) (60˚) ( 90˚) (120˚) (135˚) (150˚)  

(180˚)

(270˚)  

(360˚)

Sin a 0 1 0 -1 0
Cos a 1 0 -1 0 1
Tg a 0 1 -1 0 0
Ctg a 1 0 -1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Келтіру формулалары

 

 

x
Sinx cos a cos a -sin a sin a -cos a -cos a sin a -sin a
Cosx -sin a sin a -cos a -cos a sin a -sin a cos a cos a
tgx -ctg a ctg a tg a -tg a -ctg a ctg a tg a -tg a
 ctgx -tg a tg a ctg a -ctg a -tg a tg a ctg a -ctg a

 

 

Квадрат теңдеудің түбірлері Дискриминант мәні Квадрат теңдеудің түбірлері
Толымсыз квадрат теңдеулер ax2 = 0

( b = c = 0 )

x1 =0,

x2 = 0

ax2 +bx = 0

( c = 0 )

x1 =0,
 

ax2 +c= 0

( b= 0 )

 

 

 болғанда,

 

болғанда, теңдеудің шешімі жоқ.

       

Толымды квадрат теңдеулер Жалпы түрі:

 

ax2+bx+c=0

D=b24ac

D > 0
D = 0
D < 0 Теңдеудің шешімі жоқ
b=2n

ax2+bx+c=0

D=n24ac

D > 0
D = 0
D < 0 Теңдеудің шешімі жоқ
 

Келтірілген квадрат теңдеу:

ax2+px+q=0

мұндағы р=2k

D=k2-q

D > 0
D = 0 x=-k
D < 0 Теңдеудің шешімі жоқ

 ______________________________