Мәлiметтердi жинақтау және таныстыру Алгебра. 8-сынып

Абылхасанова Маржан Маратовна

математика пәнінің мұғалімі

Сабақтың тақырыбы: Мәлiметтердi жинақтау және таныстыру  Алгебра. 8-сынып

Сабақтың түрі: Жаңа сабақ түсіндіру

Сабақтың мақсаты: Кездейсоқ шама туралы түсінік беру.

Абсолюттік жиілік, салыстырмалы жиілік және интервалды жиілік кестелерін  толтыруды үйрету.

Статистикалық мәліметтерді көрнекі түрде беру тәсілдерін меңгерту.

Сабақтың тілдік мақсаттары:

Оқушылар: жиілік диаграммасындағы мәліметтерді бүкіл сыныпқа таныстырады және өз мәліметтерін таныстыруға қалай жеткенін сипаттай алады.

Пәнге қатысты лексика мен терминология:

Жинау, берілгендерді таныстыру, гистограмма,  дөңгелек диаграмма, бағанды диаграмма, полигон, жиілік,салыстырмалы жиілік.

Сабақтың барысы:

Жаңа тақырыпты меңгеруге қажетті білімдерімізді еске түсіріп, жинақтайық.

Алдыңғы сыныптардан сіздер статистикалық сипаттамалардың қарапайым түрлері -арифметикалық орта,мода,медиана, өзгеріс ауқымы және кездейсоқ оқиға ұғымдарымен таныстыңыздар. Осы ұғымдарды есімізге түсіру мақсатында топтық жұмыс:

Сан қатарының арифметикалық ортасы, модасы,

медианасы, өзгеріс ауқымы ұғымдарына анықтама беру және берілген сан қатары үшін осы аталған шамаларды табу қажет.Кездейсоқ оқиғаға мысал келтіріңіз.

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1.5, 1.5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 2.5, 2.5,2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5,4, 4, 4, 4, 4.5, 4.5, 5, 5, 5, 5
1) Арифметикалық орта:
(0*6+1*2+1.5*2+2*6+2.5*5+3*4+3.5*5+4*4+4.5*2+5*4):40=(0+2+3+12+12.5+12+17.5+16+9+20):40=104:40=2.6
2) Өзгеріс ауқымы:
5-0=5
3) Модасы: 0 және 2
4) Медианасы: (2.5+2.5) : 2=2.5

Сынау кезінде оқиғаның пайда болуы да, немесе пайда болмауы да мүмкін оқиғаны  кездейсоқ оқиға деп атайды.

Мысалы: Жәшіктің ішінде ақ,қызыл , қара шар бар делік.Егер оларды араластырып, кез келген біреуін суырып алсақ, онда оның ақ немесе қара не қызыл шар болуы мүмкін.Жәшіктен белгілі бір түсті шардың,мысалы ақ шардың пайда болуы – кездейсоқ оқиға болады.

Жаңа сабақ түсіндіру:

Бүгінгі сабағымызда кездейсоқ шама ұғымымен танысамыз және статистикалық мәліметтерді көрнекі түрде беру тәсілдерін меңгереміз.

Кіріспе
Статистика — ғылымның бiр тармағы.Статистика да математика сияқты сандармен,шамалармен шұғылданады, бiрақ оның сапалық қасиетi жалпы бұқаралық құбылыстарды өлшеу нәтижесiнде айқындалады. Күнделікті өмірде адамдарға қандай да бір мәліметтер қажет болады немесе оларды өңдеу қажеттілігімен кездеседі. Мысалы, физика, химия, биология сабақтарында сарамандық және тәжірибелік жұмыстарды орындау кезінде олардың қорытындысын өңдей білу, ал география, тарих сабақтарында кестемен жұмыс жасай білу және графиктік түрде берілген мәліметтерді қабылдай білу қажет. Мұндай біліктілік әр адамға керек, себебі әртүрлі формада берілген статистикалық материалдарды газетте, журналда, теледидарда және т.с.с. мәліметтердің қайнар көзінде үнемі кездестіріп отырамыз. Математикалық статистиканың негізгі ұғымдарының бірі — кездейсоқ шама.Бұл ұғымды түсіндіруді мысалдардан бастайық.

1-мысал. Ойын сүйегін лақтырғанда пайда болатын ұпай санын алдын ала айта алмаймыз. Бұл мысалда пайда болатын ұпай саны – кездейсоқ шама. Ойын сүйегінің жақтарында көрсетілген 1,2,3,4,5,6 сандары кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері. 2- мысал. Оқушының математика сабағындағы жауабы үшін алатын бағасы қандай болатыны белгісіз. Оқушының алатын бағасы кездейсоқ шама, ал 1,2,3,4,5  кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері.

Анықтама: Сынау нәтижесінде қандай да бір мүмкін мәнді қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама дейміз немесе сан мәнге ие болатын кездейсоқ оқиғаны кездейсоқ шама деп атаймыз.

Қабылдайтын мәндер жиынына орай кездейсоқ шамаларды екі топқа бөледі: дискретті және үздіксіз.Егер кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндері шекті бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда оны дискретті кездейоқ шама деп атайды. Келтірілген мысалдардағы кедейсоқ шамалардың қабылдаған мүмкін мәндерін жекелеп, айырып санауға келетін мәндер болып отыр, сондықтан мұндай шамаларды дискретті кездейсоқ шамалар дейміз. Егер кездейсоқ шамалардың мәндері белгілі бір аралықта жатса, онда оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды.

Мысалы : Мектептегі оқушылардың жасы – кездейсоқ шама. Ол шаманың мүмкін мәндері 6жас пен 18 жас аралығы. Оқушының жасы дәл 6,7,8…18жас бола бермейді,сонымен қатар  мысалы 8жас 9 ай т.с.с. болады,яғни 6 мен 18 дің аралығын түгел қабылдайды. Бұл шама-үздіксіз кездейсоқ шама.

Кездейсоқ шаманы сипаттау үшін алдымен оның мүмкін болатын мәндерін білу қажет.

Мысалы, мерген жүз рет атқанда оқты нысанаға неше рет тигізуі мүмкін болатынын айта аламыз, яғни: 0; 1; 2; 3; …99; 100 рет тигізуі мүмкін. Бір килограмм бұршақта бұршақ дәнінің саны 500; 501: 502;…1998; 1999; 2000 т.с.с болуы мүмкін деп те айта аламыз.

Кездейсоқ шаманың барлық қабылдайтын мәндерінің жиынын жалпы жиынтық дейміз.Көп жағдайларда жалпы жиынтықтың әрбір элементін өңдеп зерттеу мүмкін бола бермейді.Мұндай жағдайларда оның кездейсоқ алынған бір бөлігінің элементтерін зерттеп, алынған қасиеттерді жалпы жиынтықтың қасиеті ретінде қабылдайды. Мұнда жалпы жиынтықтың кездейсоқ алынған бөлігін таңдалым деп атайды.

Кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндерін біліп қана қоюмен кездейсоқ шаманы толық сипаттай алмаймыз. Ол үшін әрбір жеке мәндерінің байқалу жиілігін білу қажет. Мысал: Мұғалім 8 сыныпта оқитын 40 оқушыға математика сабағынан 9 есептен тұратын тест жұмысын өткізді және тексерген кезде әр оқушының неше есепті дұрыс орындағанын белгілеп отырды, сонда мынадай тізбек шыққан. Бұл кездейсоқ шамалар:

6, 5, 4, 0, 4, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8, 6, 5, 4, 0, 4, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8

Мәліметтерді талдау оңай болу үшін ,реттеп орналастырайық

0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,

7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9.

Алынған мәліметтерді кестеге түсірейік. Бірінші қатарда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері, ал екінші қатарда осы санның қатарда неше рет қайталанғаны көрсетілген.

Бұл абсолют жиілік кестесі деп аталады.

Жиіліктердің қосындысы тексерілген жұмыстың жалпы санына тең 40.

Жалпы, жиіліктердің қосындысы қатардағы мәліметтердің жалпы санына тең болады. Бұл мысалдағы кездейсоқ шама- дискретті шама.

Салыстырмалы жиілік

Кейде  абсолют жиілік кестесінің орнына салыстырмалы жиілік кестесін толтырады. Салыстырмалы жиілік деп жиіліктің қатардағы шаманың жалпы санына қатынасын немесе(жалпы мәліметтер санына) проценттік қатынасын айтады.  Біздің  мысалда шаманың жалпы саны ( жалпы мәліметтер саны) – ол оқушы саны, яғни 40.

Мысалы 9 балл жинаған оқушылар санын сипаттайтын салыстырмалы жиілікті есептейік: 4 : 40*100=0,1*100=10

Салыстырмалы жиіліктер қосындысы 100% болады.

Интервалдық қатар мысалы.

Мысалы: Электрлампаларының жарамдылық мерзімін анықтау мақсатында 50 электрлампасының жану ұзақтығы тексерілген. Тексеру қорытындысы бойынша кесте толтырылды.

Жоғарыда үздіксіз кездейсоқ шаманың кестеде берілуі көрсетілген.

Статистикалық мәліметтерді талдау.

Статистикалық зерттеу барысында мәліметтерді жинап, топтастырғаннан соң әртүрлі статистикалық көрсеткіштер бойынша талдауға көшеді. Статистикалық сипаттамалардың бізге таныстары: арифметикалық орта, мода, медиана өзгеріс ауқымы.

Статистикалық зерттеу нәтижелерін көрнекі түрде берудің әртүрлі тәсілдері бар.
1.Бағанды диаграмма
2.Дөңгелек диаграмма
3. Полигон
4.Гистограмма

Осындай тәсілдердің бірі бағанды диаграмма. Бағанды диаграмманы статистикалық мәліметтердің уақытқа байланысты өзгеруін немесе үлестірілімін (таралуын ) көрсету қажет болғанда қолданады. Мысал: 8а,8в сынып оқушыларының математика  пәнінен әр тоқсандағы үлгерім сапасы туралы мәлімет жинақталып кесте толтырылған. Осы кестені пайдаланып мәліметті көрнекі түрде көрсету үшін бағанды диаграмма тұрғызамыз.

Математика пәні бойынша 8а,8в сынып оқушыларының үлгерім сапасы.

Дөңгелек диаграмма. Зерттелген мәліметтер жиынтығы бөліктерінің қатынасын көрнекі түрде көрсету үшін дөңгелек диаграмманы  қолдану ыңғайлы. Егер статистикалық зерттеудің қорытындысы салыстырмалы жиілік кестесімен берілген болса, онда дөңгелек диаграмманы  салу үшін дөңгелекті секторларға бөлу керек. Секторлардың центрлік бұрыштары мәліметтердің әр тобына сәйкес салыстырмалы жиілікке пропорционал  болады. Статистикалық зерттеудің қорытындысы жиілік кестесімен берілген болса, онда дөңгелек диаграмманы салу ыңғайлы болу үшін, жиілік кестесін салыстырмалы жиілік кестесімен алмастыру қажет.

Дөңгелек диаграмма  мәліметтер топтарының саны  көп болмағанда ғана көрнекі болады.

Полигон

Статистикалық мәліметтердің уақытқа тәуелді өзгеріс динамикасын көбінесе полигонның көмегімен береді. Полигонды тұрғызу үшін  координаталық жазықтықта абсциссасы уақыт мезгілін, ал ординатасы сол мезгілге сәйкес статистикалық мәлімет болатын нүктелерді белгілейміз. Алынған нүктелерді тізбектей қосу арқылы сынық сызық аламыз. Осы сынық сызық полигон деп аталады. Статистикалық зерттеу нәтижесінде алынған мәліметтердің үлестірілуін (таралуын) көрнекі түрде сипаттау үшін  полигонды пайдаланады. Мысал: Мұғалім оқушылардан белгіленген күні математика сабағынан үй тапсырмасын орындауға қанша уақыт жібергендерін анықтап келулерін өтінді. Осы алынған мәліметтер бойынша жиілік кестесі толтырылып және кесте бойынша полигон тұрғызылды.

Гистограмма

Статистикалық зерттеу нәтижесінің мәліметтері интервалдық қатар арқылы берілген болса, онда гистограмма арқылы бейнелейді. Гистограмма  тіктөртбұрыштардан құралған баспалдақты фигура болып табылады. Тіктөртбұрыштардың табандары интервал ұзындығына тең, биіктігі – абсолют  жиілікке немесе салыстырмалы жиілікке тең болады.  Яғни, бағанды диаграммадағы сияқты тіктөртбұыштың табаны қалауымызша алынбайды, гистограммада тіктөртбұыштың табаны интервалдың ұзындығымен қатаң анықталған. Зерттеу нәтижесінде оқушылардың теледидар қарауға жіберетін уақыттары бойынша үлестірілімінің кестесі жасалды.

Бағанды диаграмма мен гистограмманың айырмашылығы :

бағанды диаграммада жиіліктің мәні бағанның биіктігіне тең, ал гистограммада жиілік бағанның ауданына тең болады.

Тапсырма №1

Мемлекеттік емтихан кезінде  оқушылар бір емтиханды өздері таңдаған пән бойынша тапсыруы керек. Таңдау физика, химия және ағылшын пәндері арасында өтеді. Оқушылардың қай пәнді таңдайтыны туралы сауалнама өткізіліп, 50 оқушыдан алынған жауап қорытындысы мынадай болды:(ф – физика, А – ағылшын, х- химия)

ф, А, ф, ф, х, х, ф, ф, ф, А, х, А, А, А, х, х, ф, х, А, А, ф, х, ф, ф, х, ф, х, А, ф, ф, ф, А, ф, ф, х, ф, А, ф, х, х, ф, х, А, ф, ф, ф, А, А, х, ф.

Алынған мәліметтер үшін жиілік кестелерін толтырыңыз. Мәліметтердің реттелген  қатарын жазамыз.

А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, А, ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф,ф

х,х,х,х,х,х,х,х,х,х,х,х,х,х,

Салыстырмалы жиілік кестесі.

№1 есептегі мәліметтерді дөңгелек диаграмма түрінде берейік. Ол үшін салыстырмалы жиілік кестесін пайдаланамыз.3600  — тың 26% -ін, 46%−ін,28% -ін табамыз,360: 100 ∙26≈940, 360: 100 ∙46≈1660 ; 360: 100 ∙28≈1010 болатын секторларға бөлеміз.

Осы мәліметті бағанды диаграмма түрінде де беруге болады.

Тапсырма №2

Мектептегі 40 оқушыға жүргізілген сауалнама нәтижесі бойынша, әр оқушының бір апта ішінде қанша уақытын үйірмелерге арнайтыны анықталды. Алынған мәліметтер:

5,  1,5,   0,   2,5,   1,   0,   0,   2,   2,5,   3,5,4,   5,   3,5,   2,5,   0,   1,5,   4,5,   3,   3,   5,

3,5,   4,   3,5,   3,   2,5,   2,   1,   2,   2,   4,5,4,   3,5,   2,   5,   4,   2,   2,5,   0,   0,   3.

Алынған мәліметтер үшін жиілік кестесін толтырыңыз және мәліметті полигон түрінде беріңіз. Реттелген  қатар
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1.5, 1.5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 2.5, 2.5,
2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5, 3.5,4, 4, 4, 4, 4.5, 4.5, 5, 5, 5, 5

Полигон

Мектептегі оқушылардың жастары туралы мәлімет кестемен берілген. Осы мәліметті көрнекі түрде гистограммамен беріңіз.

Үй тапсырмасы:

№1  а) Берілген полигон бойынша абсолюттік жиілік кестесін толтырыңыз.

ә) Салыстырмалы жиілік кестесін толтырыңыз.

№2

Қазақ алфавитінің А-дан Я — ға дейінгі әріптерін кестеге орналастырыңдар және қандай да бір әдеби кітаптағы мәтіннің 1 бетін таңдап алып, әріптердің әдеби мәтінде жиі кездесуін зерттеңдер. Әріптердің қайсысы жиі,сирек,шамамен бірдей кездеседі? Алынған нәтижені жолдастарыңның алған нәтижесімен салыстыруға мүмкіндік беретін гистограмма салыңдар.

Рефлексия:

сабақ бойынша оқушылардың пікірлерін тыңдау. Оқушыларға бір жағында(!)белгісі бар, қандай сұрақтарға жауап алғанын жазады, келесі бетінде (?) белгісі, қандай сұрақтарға жауап алмағанын жазады. Оқушылардың жауабы келесі сабақтың міндеттерін қоюға септігін тигізеді.

Қолданылған әдебиеттер:

А.Г. Мордкович ,П.В. Семенов События.Вероятности.Статистическая обработка данных 7 – 9 классы.

А.Х. Шахмейстер Комбинаторика .Статистика. Вероятность.

Ә.Н. Шыныбеков Алгебра 8класс

А.Қ.Алпысов  Ықтималдылықтар теориясы және математикалық статистика элементтері.