Тест тапсырмаларында кездесетін кейбір көрсеткіштік теңдеулерді шешудің тиімді тәсілдері

Тест  тапсырмаларында кездесетін кейбір көрсеткіштік  

                                       теңдеулерді шешудің тиімді тәсілдері

З. Тоқсанова.

                                 Опорный  орта  мектебі

Көрсеткіштік теңдеулерді  шешу  барысында дәрежелер қасиеттерін жақсы  меңгеріп, өолдана  білу  керек.  Көрсеткіштік  теңдеулерді  шешудегі жиі  қолданылатын  әдістер: теңдеулердің екі  жағын да бір  негізге  келтіру;  көбейткіштерге  жіктеу;  теңдеудің  екі  жағын да логарифмдеу.

1. Егер 49^х +  49^-х = 66  болса,  7^х  — 7^-х  қосындысын  табыңыз.

Шешуі:                                          ————————      ———————     ———     —

7^х – 7^-х = √(7^х – 7^-х)²  =  √49^x – 2^.7^{х .}7^-х + 49^-х = √49^х  + 49^-х – 2 ^.7⁰ = √66 – 2 = √64 =  8

Жауабы: 8

2. 4^х + 4^-х =23, 2^х + 2^-х  қосындысын  есептеңіз.

Шешуі:                 ————       ——————        ——————      ———     —

2^х + 2^-х = √(2^х + 2^-х)² = √4^х + 2^.2^{х .}2^-х+4^—х  =  √4^х + 4^-х + 2 ^.4⁰ =  √23 + 2 = √ 25 = 5

Жауабы: 5

3. 4^{3 – 2х} = 4^{2- x}  теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:  Теңдеуді  шешу  үшін көрсеткіштерін  теңестіреміз.

3– 2х = 2 – x 

-2x  + x = 2 – 3

-x = -1

x = 1                                  Жауабы: 1

4. 3^х =  1/27   теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:  Бір  негізге  келтіре  отырып,  көрсеткіштерін  теңестіреміз:

3^х = 3^-3  ;    х = — 3 .                  Жауабы:  — 3.

5. 7^(х+1)(х-2) = 1 теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:   7^(х+1)(х-2) = 7⁰ ;      (х+1)(х-2) = 0;

х + 1 = 0       x – 2 = 0

x = — 1          x = 2

Жауабы: {-1; 2}.

6. 0,8^{2х – 3} = 1 теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі: 2х – 3 = 0 ;      2х = 3;      х = 1,5

Жауабы: 1,5

7. 10^х – 5^{х – 1 .}2^{х – 2} =950 теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:  10^х – 5^{х .}5^{-1 .}2^{х .} 2^-2 = 950

10^х – 1/20 ^.10^х = 950;          10^х = 1000;   10^х = 10³ ;     х = 3

Жауабы: 3.

8. 3^{3х +1} – 4 ^. 27^{х – 1} + 9^{1,5х- 1} =80  теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:   3^{3х + 1} – 4 ^.3^{3х – 3}  + 3^{3х – 2} = 80

3^{3х – 3} (3⁴ – 4 + 3¹) = 80;             3^{3х – 3} = 1;    3х – 3 = 0;  3х = 3;      х = 1

Жауабы:  1

9. 3^х + 3^х+1 + 3^{х + 2} + 3^{х + 3}= 360  теңдеуінің  түбірлерін  табыңыз.

Шешуі:  3^х(1 + 3¹ + 3² + 3³) = 360

3^{х .} 40 = 360;     3^х = 9;       3^х= 3²;       х = 2 .

Жауабы: 2

10. 2^х + 2^{х – 3} = 18 теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:  2^{х – 3} (2³ + 1) = 18;    2^{х – 3 .} 9 = 18;     2^{х – 3} = 2;   х – 3 = 1;    х = 4.

Жауабы: 4

11. 3 ^. 5^{2х – 1}  — 2 ^.5^{х – 1} = 0,2 теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:  Квадрат  теңдеуге келтіреміз:

3^.5^2х – 2 ^. 5^х – 1 =0;     5^х = а;    3а² – 2а – 1 = 0 ;  а₁=1;  а₂ = — 1/3 (бөгде түбір)

5^х = 1;

5^х = 5⁰

                                   х = 0.                                              Жауабы:  0

12. 3^{х2 – 4} = 5^2х   теңдеуін  шешіңіз.

Шешуі:   Егер теңдеу біркелкі негізді  дәрежелері тең түрге келтірілмесе, онда екі жағын да  логарифмдеуге  ыңғайлы  түрге  келтіріп  логарифмдейміз де, алынған теңдеулерді шешеміз.

Теңдеудің  екі  жағын да 3 негізі бойынша логарифмдейміз:

log₃3^{x2 – 4} = log₃5^2x ;    х² – 4 = 2хlog₃5;    х² – 2хlog₃5 – 4 = 0.       ——

Жауабы: х_1,2 = log₃5 ±√log₃²5 + 4

Маңғыстау  облысы

Бейнеу  ауданы