Арифметикалық және геометриялық прогрессия

126

Сабақтың тақырыбы:                 Арифметикалық және геометриялық прогрессия

Сабақтың мақсаты:

1.Білімділік:

Арифметикалық, геометриялық прогрессиялардың қасиеттерін, ерекшеліктері мен ұқсастықтарын, формулаларын сатылай, жүйелі, комплексті меңгерту. Есептер шығаруда дұрыс қолдана алуға үйрету.

  1. Дамытушылық:

Оқушылардың ойлау, есте сақтау, елестету қабілеттерін, танымын дамыту.

  1. Тәрбиелілік:

Оқушылардың белсенділігін арттыру, өз бетінше оқуға, ізденуге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі:                            Қорытындылау сабағы

Сабақтың әдісі:                    Сатылай комплексті талдау технологиясын, сұрақ-жауап, есептерді шығару, тест алуда деңгейлеп оқыту технологиясын қолдану.

Сабақтың көрнекілігі:        плакаттар, тест карточкалары, бағалау беттері

Сабақтың барысы:              І. Ұйымдастыру кезеңі

ІІ. Негізгі бөлім

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сан тізбегі

 

Жұп сан

 

 

                     
         
 
     
 
     
     
 
 
     
     
 
 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
6.1.   мүшесін табу

6.2. Айырымын табу

6.3. Еселігін табу

6.4.  мүшелерінің

қосындысын есептеу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Анықтамасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Тану

Арифметикалық прогрессия                       Геометриялық прогрессия

 

2.1. а1, а2, а3, …, аn

Мысалы

1, 4, 7, …

а2 — а1 = а3 – а2 = …= an-1 – an=d

 

2.2. (an) – арифметикалық

прогрессия

а1 – бірінші мүше

d – айырымы

n – мүшелерінің саны

аn – n-ші мүшесі

Sn – алғашқы n  мүшесінің

қосындысы

      b1, b2, b3, …, bn

Мысалы

2, 4, 8,16 …

b2 : b1 = b3 : b2 = …= bn+1 : bn=q

 

(bn) – геометриялық

прогрессия

b1 – бірінші мүше

q – еселік

n – мүшелерінің саны

bn – n-ші мүшесі

Sn – алғашқы n  мүшесінің

қосындысы

 

 

 

2.3. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар –

тізбектер. Тізбектер бірнеше тәсілдермен берілетінін еске түсіре кетейік:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Математикалық белгі

 

Арифметикалық                                          Геометриялық

прогрессия                                                    прогрессия

 

 

 

 

 

 

 

  1. Қасиеті

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мысалы

1, 3, 5, 7, …

 
   

 

 

= 3;

 
   

 

 

= 5                                                                                                           

       
   
 

 

   
 

 

 

 

 

 

Мысалы

2, 22, 23, 24, …

= 22

= 23

 

 

  1. Маңызды түйін

 

4.1. Рекурренттік формуласы

an+1= an + d, nN                         bn+1= bn q, n N

 

4.2. Қабылдай алатын мәндері

a1  d —  сандар                        b1  0, q  0

        d – айырымы                              q – еселігі

 

4.3. Жалпы мүшесінің формуласы

an = a1 + (n-1)d                             bn = b1 qn-1

Айырымын табу:                         Еселікті табу:

d = an+1 — an                                   q =

 

4.4. Алғашқы n  мүшесінің  қосындысының формуласы

 

Sn =                                        Sn =  (q 1)

 

4.5. Шексіз кемімелі

геометриялық

прогрессияның

қосындысы

S =  ;   < 1

 

  1. 5. Түрге айыру

 

5.1. Арифметикалық прогрессия

d>0, өспелі

айырымы                                          арифметикалық прогрессия

d<0, кемімелі

 

5.2. Мүшелері тұрақты бір ғана сан болатын тізбек тұрақты

геометриялық прогрессия деп аталады.

Мысалы:  4, 4, 4, …  тізбегі q = 1 болғанда тұрақты

геометриялық прогрессия болады.

 

  1. Түрлену

Арифметикалық прогрессия          Геометриялық прогрессия

 

6.1.   мүшесін табу

a1 = 2                                                     b1 = 3

d = 5                                                      q = 2

a7 — ?                                                      b5 — ?

а7=a1+6d=2+30=32                                       b5=b1q4=324=316=48

6.2. Айырымын табу                          6.3. Еселігін табу

a1=5                                                       b1 = 3

a2=7                                                       b2 = 9

d — ?                                                        q — ?

a2 = a1 + d                                              b2 = b1 q

d = a2-a1                                                                         q = = = 3

d = 2                                                      q = 3

 

6.4.  мүшелерінің қосындысын есептеу

a1 = 9                                                     b1 = 1

a2 = 13                                                   q =

S5 — ?                                                      S4 — ?

d = a2 – a1= 13 – 9 = 4                          b4 = b1q3 = 1()3 =

a5 = a1 +4d = 9+16=25

S5 = =  = 85                          S4 =  =  = = 2 = =1

  1. Есептер шығару

 

 

 

 

   
 
1. Есептің шарты

 

 
 
2. Берілгені

 

 
 
3. Табу керек

 

 
 
4. Шешуі

 

 
 
5. Жауабы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№1. Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі 5-ке тең, айырымы

7-ге тең, оның он екінші мүшесі неге тең екенін бізден сұрайды.

Берілгені: а1=5

d=7

a12=?

Шешуі:

a12 = a1 + 11d=5+117=82

Жауабы: 82

№3. Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі 25-ке, айырымы 4-ке тең, оның алғашқы он мүщесінің осындысын табыңдар.

Берілгені: a1= 25

d=4

S10 — ?

Шешуі:

a10 = a1 + 9d=25+94=61

S10 =  = 5 86 = 430

Жауабы:  430

 

№5. Берілгені:  a10 = 120

d = 12

a1 — ?

Шешуі:

a10 = a1 + 9d

a1=a10-9d=120-108=12

a1=12

Жауабы: 12

 

№2. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі 3-ке, еселігі — ге тең, оның үшінші мүшесі неге тең екені бізден сұрайды.

Берілгені: b1=3

q=

b3=?

Шешуі:

b3= b1q2=3= 3=

Жауабы:

№4. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі мен үшінші мүшесінің қосындысы 60-қа тең, еселігі 3-ке тең. Оның алғашқы төрт мүшесінің қосындысын табыңдар.

Берілгені: b1+b3 = 60

q = 3

S4 — ?

Шешуі:

b3 = b1 q2

b1 + b1q2 = 60

b1(1+q2)= 60

b1(1+9)= 60

10b1=60

b1=6

S4 =  = 380 = 240

Жауабы: 240

 

№6. Берілгені: b1=5

b5=3125

q — ?

Шешуі:

b5=b1q4;

q4===625

q4 = 625

q4 = 54

q = 5

Жауабы: q = 5

 

 

 

 

 

 

  1. Деңгейлік тапсырмалар бойынша тест алу

 

Топ Рет саны Тапсырмалар Жауаптары
Берілгені Табу керек А В С
 

А

1 a1= –3,a2=10 d 13 3 -13
2 b1=3, q=2 S5 36 93 30
3 a1=5, d=4 a6 25 27 30
 
Топ Рет саны Тапсырмалар Жауаптары
Берілгені Табу керек А В С
 

B

1 a1= 3,d=2 a30 65 61 67
2 b1=7, q=4 b4 448 508 334
3 b1=3, q=3 S6 1092 1016 1025
                 

 

Топ Рет саны Тапсырмалар Жауаптары
Берілгені Табу керек А В С
 

C

1 b1= –3,q= b5  
2 b4=24, b6=96 q 2 2 3
3 a4=10, a6=20 а1 -5 -7 5

 

  1. Шығармашылық жұмыс (үй тапсырмасы бойынша)

Математика тарихынан

1-оқушы: Егер арифметикалық прогрессия туралы айтсақ,

неміс математигі К.Гаусс (1777-1855) бастауыш класс оқып жүргенінде мұғалім есептің шартын оқып болмай жатып-ақ 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын тапқан.

2-оқушы: Геометриялық прогрессияның ертедегі есебінің бірі

«Үндінің патшасы Шерамның шахматты ойлап тапқан ғалым Сетаға бермек болған сыйлығын есептей келгенде «Бүкіл дүние жүзінің астығы» жетпейтін орасан көп сан шығады».

1-оқушы: Мысырлықтардың Ринд папирусының кейбір

есептерін прогрессия есебі деуге болады. Мысалы: «10 өлшем арпаны 10 адамға бөліп бер, әр адамға беретін арпа өлшемнің бір-бірінен айырмасы  болсын».

Папирусқа 7 санының дәрежелері 7, 72, 73, 74, 75 және оның жанына: үй, мысық, тышқан, арпа, өлшем  деген сөздер жазылған. Мұны шешіп оқыған тарихшы «7 үйдің әр қайсысында 7 мысық бар, әр мысық 7 тышқан жейді. Әр тышқан 7 арпаның масағын жейді, әр масақта 7 өлшем арпа өседі» деген болу керек дейді. Мұндай есептер түрліше өзгеріп басқа халықтарға тарады.

2-оқушы: Прогрессиялар мен тізбектер жөніндегі ілімнің

алғашқы нысандары мысырлықтар мен вавилондықтардан басталды. Олар бүгінгі біздің сабағымыздағы қорытып шығарған формулаларымызды пайдаланып есептер шығарған деп қорытындылағымыз келеді.

  1. Үйге тапсырма № 254, № 284,  № 312

 

  1. Бағалау