Арифметикалық прогрессия және оның п-ші мүшесінің формуласы

93

Сабақтың тақырыбы: Арифметикалық прогрессия және оның п-ші мүшесінің  формуласы

Сабақтың мақсаты:

  • тізбек, арифметикалық прогрессия туралы алған білімдерін пысықтап, толықтыру;
  • әртүрлі тапсырмалар орындау арқылы пәнге деген қызығушылығын арттыру;
  • есептердің шешімін табуда алдын-ала болжай білуге, ойлауға үйрету, бір-бірінің қателерін табу арқылы өздеріне сын көзбен қарауға жағдай жасау.

Сабақтың түрі: бекіту сабағы

Сабақтың көрнекілігі: қима сандар, шеңберлер,ұялы телефон,прожектор, смайликтер,т.б.

Сабақ барысы.

I . Ұйымдастыру кезеңі

Сәлемдесу, оқушыларың сабаққа дайындығын тексеру

Оқушыларға мозайканы тарата отырып , шыққан сурет бойынша оқушыларды топтастыру. Шыққан суреттер: жыл мезгілдері, құстардың ұшып бара жатқаны.

  1. Қызығушылығын ояту

Мына сандар тізбегін өсу ретімен орналастырыңдар:

Ф  Ч  Н  Б  А  И  И  О  Ч

1;  13; 5; 2; 8;  1; 34; 3; 21…    қандай сөз шықты?

1,1,2,3,5,8,13,21,33,…

  • Ал балалар шыққан сөзді ақпараттық комуникативтік технологияны пайдала отырып 2 топ ізденеміз
  • Фибоначчи – италян ғалымы (1170 – 1250 жж) Пизалық Леона́рдо (лат. Leonardo Pisano, Пиза, 1170 — 1250) — итальян математигі, Орта ғасырлардың ең мықты математигі болып саналады. Фибона́ччи деген лақап атымен көбірек белгілі (Fibonacci). Иналияндық саяхатшы – саудагердің ұлы болған ол өзінің өмірінің көп жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын пайдалануға үйретті. Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған Фибоначчи көп ұзамай осы амалдар туралы кітап жазады, соның нәтижесінде бұларды Италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты, тізбек табиғатпен және алтынның арасалмағымен байланысты.

Бұл сан тізбегі Фибоначчи тізбегі деп аталады. Ол – екі бактерияның көбеюін көрсететін тізбек. (сабақтың тақырыбы, мақсаты айтылады.)

-Тізбек, арифметикалық прогрессия тақырыптары бойынша теориялық білімдерін тексеру. (тірек сызба арқылы)

1-ші топ берілу тәсілдерін

Тәсілдері:

  1. Баяндау тәсіліне санды тізбектің орналасу заңдылығы сөзбен беріледі.М/ы: Натурал сандар қатарының квадраттарынан тұратын тізбекті жазыңдар.

Жауабы: 1,4,9,16,25,36,49

  1. Егер тізбектің п-ші мүшесі формула арқылы берілсе, онда ол аналитикалық тәсіл болып табылады. М/ы: ап=2п. Берілген формула бойынша тізбектің кез келген мүшесін анықтауға болады.

Жауабы: п=3   а3=23=8

  1. Кейбір жағайлара тізбектің /п+1/-ші мүшесі пөші мүшесі арқылы есептелінетін формула түрінде берілеі. Бұл жағдай тізбектің бір немесе бірнеше алғашқы мүшелері қосымша беріледі. Тізбектің осылай берілуі рекурренттік тәсіл деп аталады.М/ы: ап+1=4ап-1

Шешуі.   а1  =1         а2=4а1-1=4*1-1=3

  1. Саны тізбек графиктік тәсілмен де берілеі.

М/ы: Санды тізбектің графигі абсциссалары-натурал сандар, ал ординатасы- осы сандарға сәйкес тізбек мүшелерінің мәндері болатын оқшалауланған нүктелерден тұрады.

2-ші топ түрлері айтып өтеді

Түрлері:

  1. Шектеулі және шексіз тізбекке бөлінеді.

М/ы:нөлмен аяқталатын бүтін оң екітаңбалы сандар жиыны.10,20,30,40,50,60,70,80,90-шекті тізбек

1,2,3,4,5,6,……….п- шексіз тізбек болып табылады.

Ішіне сыртына арқылы 2 топ анықтамаларды пысықтайды.

  1. Тізбектің әрбір кейінгі мүшесінің алдынғы мүшесіне қатысты орналасу ретіне қарай тізбек өспелі/ егер ап+1п/ және кемімелі /егер ап+1п/ болып бөлінеді.

Өспелі және кемімелі тізбетер бірсарынды тізбектер деп аталады.

  1. Бір ғана саннан құралған тізбек тұрақты тізбек деп аталады.

м/ы.2,2,2,2,….

Тізбектер арифметикалық прогрессияда қолданылады.

Екінші мүшесінен бастап әрбір мүшесі алдыңғы мүшесіне қандай да бір тұрақты санды қосқанда шығатын санды тізбекті арифметикалық прогрессия деп атаймыз.

1-ші топ п-ші мүшесінің формуласын, 2-ші топ қасиетінің формуласын

қима қағаздардан құрайды.

Үйге берілген есептерді тақтадағы дұрыс жауаптармен тексереді, көрші отырған оқушынын дәптерін алмастыру арқылы.

№208

1/  а1=-3       aп= а1+/n-1/d

d=0.7       a11=-3 +/11-1/0.7=-3+7=4

a11=?                     Жауабы: 4

 

2/  а1=18       aп= а1+/n-1/d

d=-0,5       a20=18 +/20-1/*/-0,5/=18-9,5=8,5

a20=?                     Жауабы: 8,5

 

3/ а1=20      aп= а1+/n-1/d

d=3       a5=20 +/5-1/*3=20+12=32

a5=?                     Жауабы: 32

 

4/ в1=5,8     вп= в1+/n-1/d

d=-1,5       в21=5,8 +/21-1/*/-1,5/=5,8-30=-24,2

в21=?                     Жауабы: -24,2

  1. Мағынаны тану. Деңгейлік тапсырмалар орындау

№210

1/   а1=2             aп= а1+/n-1/d

d=0,1            a5= 2+/5-1/0,1=2+0,4=2,4

п=5

aп=?                         Жауабы: 2,4

 

2/         а1=2,3             aп= а1+/n-1/d

d=-1            a10= 2,3+/10-1/*/-1/=2,3-9=-6,7

п=10

aп=?                         Жауабы: -6,7

Ауызша есеп :

Жаңаөзеннен Шымкентке мұнайы бар поезд бағытталды. 1-ші цистернада 4тонна мұнай бар, екіншісінде 9 тонна, үшіншісінде 14тонна; ….п-ші цистернада 304 тонна мұнай бар. Цистернаның реттік нөмірін анықтаныз.

Жауабы:

а1=4              aп= а1+/n-1/d         d=9-4=5

а2=9              4+/n-1/*5 =  304

aп=304            /п-1/*5=304-4

п=?                  /п-1/*5=300

п-1=300/5

п-1=60

п=60+1

п=61

Жауабы: 61

№214

1/  с5=27       с1+4d=27   /*1       с1+4d=27

с27=60      с1+26d=60/*-1       -с1-26d=-60

с1=?

d=?                                          -22d=-33

d=1.5

с1+4*1.5=27

с1=27-6

с1=21

Жауабы: d=1.5         с1=21

 

 

2/    с20=0         с1+19d=0 /*1         с1+19d=0

с66=-92      с1+65d=-92/*-1      -с1-65d=92

с1=?

d=?                                              -46d=92

d=-2

с1+19*/-2/=0

с1=38

Жауабы: с1=38    d=-2

Сергіту сәті :оқушылар орындарынан тұрып билейді

№217

1/    а110=12            а11+9d==12       2а1-9d=12    d=4/3

а85=4                 а1 +7d-а1 -4d=4      3d=4           2а1+9*4/3=12

1+12=12

1=0

а1=0

Жауабы: а1=0          d=4/3

2/   а511=-0,2       а1+4d+а1+10d=-0.2    2а1+14d=-0.2/*1   2а1+14d=-0.2

а410=2,6        а1+3d+а1+9d=2,6       2а1+12d=2,6/*-1  -2а1-12d=-2,6

 

2d=-2.8

d=-1.4

1+14*/-1.4/=-0.2      2а1=19.4     а1=9.7

Жауабы:     а1=9.7       d=-1.4

 

  1. 3. Ой толғаныс. Шығармашылық тапсырмалар (оқушылар алдын-ала берілген тапсырмаларын слайд арқылы түсіндіріп, есептерін шығарады.)

 

Арифметикалық прогрессия мүшелері қосындысының формуласын грек оқымыстысы Диофант (3ғ) дәлелдеген. Геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысының формуласы Евклидтің <<Бастамаларында>> (б.з.б. 3ғ) кездеседі. Прогрессия қатысты бірқатар деректер итальян метематигі Л. Фибоначчидің <<Абак кітабында>> (1202) кездеседі.Ал шексіз кемімелі геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысын анықтау формулаларын француз математигі Никола Шюкеннің <<Үш бөлікттен тұратын сандар туралы ғылым>> (1484) атты еңбегінде берілген.

Арифметикалық прогрессиялар үшін жазылған формуласы формуласына байланысты атақты неміс математигі Карл Фредрих Гаусстың (1777-1855) өмірінен қызықты эпизод аңызға айналған. Мұғалім өзге сынып оқушыларының жұмыстарын тексеру мақсатында алдындағы оқушыларына 1-ден 40-қа дейінгі сандардың қосындысын табуды тапсырды. Бұл есепті 9 жасар Гаусс бір минутта шығарып, жауабын айтқан. Оның есепті шығару тәсілі мынадай еді:

1, 2, 3, …,20

+

40, 39, 38, …, 21

 

41,41,41,…, 41

Мұндай парлар саны 20 болғандықтан, берілген қосынды 41*20=820-ға тең, Яғни Гаусс арифметикалық прогрессия заңдылықтарын қолданды.

Ежелгі замандардан бастап адамзат арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың заңдылықтарын қолдана білген.Мәселен, Біздің заманымызға дейінгі ежелгі вавилондықтардың сына жазу (клинопись) кестелерінде , ежелгі мысырлық және гректердің папирустарында арифметикалық және геометриялық прогрессияларға көптеген мысалдар кездеседі. Ежелгі грек ғалымдары прогрессиялардың кейбір қасиеттерін және олардың қосындысын таба білген. Архимед(б.з.б.3ғ) фигуралардың аудандары мен денелердің көлемдерін есептеуде сан тізбегінің бірнеше мүшелерінің қосындысын таба білген. Ежелгі замандардан геометриялық прогрессия мүшелерінің еселігі 1-ден үлкен болғанда (g>1) өте жылдам қарқынмен өсетіндігі жөнінде мынадай аңыз сақталған. Мәселен, ежелгі үнді патшасы Шерам шахмат ойынынын ойлап тапқан өнертапқышты (оның аты Сета) марапаттау мақсатында оған қалағанын алуды ұсынады. Сонда Сета шахмат тақтасындасындағы 64 шаршының біріншісіне -1 дән, екіншісіне -2 дән, үшіншісіне – 4 дән, төртіншісіне – 8 дән және т,с,с., яғни әрбір шаршыға алдыңғысынан 2 есе көп дән беруді өтінеді. Алғашында патша өнертапқыштың бұл <<тым болмашы>> тілегіне таң қалып, оны орындауға бұйрық бергенімен, артынша бұл тілектің орындауға өз қазынасының қауқарсыз екеніне көзі жетеді. Шынында да, өнертапқыш сұраған дәндер саны 1+2+22… 263 қосындысына тең, ал бұл қосынды 18 446 744 073 709 551 615 санына тең. Егер бір пұт астықта 40000 дән бар десек, онда бұл тілекті орындау үшін 230 584 300 921 369 пұт астық қажет екен. Қазақстанда бір жылда жиналған астық мөлшері орта есеппен 1 000 000 000 пұтқа тең десек, онда бұл тілекті орындау үшін еліміз ішпей-жемей 230 584 жыл еңбек етуі қажет.

Бағалау критериялары:

1-4 балл=2

5-8 балл=3

9-12=4

13-16=5

Үй тапсырмасы-4 балл

Ауызша  есептеу-2 балл

Есепті дұрыс шығару-2

Формуланы дұрыс жазу-2

Анықтамаларды дұрыс тұжырымдау -3

Деректерді дұрыс іздену-2

Шығармашылық тапсырма-2

 

Смайликтер жинағанға байланысты бағалау,

Үйге тапсырма    № 210,211

Үйдегі мүшелердің айырымын тауып, 10-ші мүшесін анықтау

Қорытындылау, бағалау.

Кері әсер парақ арқылы оқушылар өз ойларын жазып , іліп кетеді.