Теңдеулерді шешудің функциялық әдісі.

64

«Алгебралық теңдеулер»

тақырыбында авторлық бағдарлама бойынша  сабақ .

Сабақтың тақырыбы: Теңдеулерді шешудің функциялық әдісі.

Сабақтың мақсаты:

а)оқушыларға  теңдеулерді шешудің функциялық әдісін меңгерту;

теңдеулерді шешудің функциялық әдісі  бойынша оқушылардың білік , дағдыларын қалыптастыру;

б)ойлау жүйелілігін және талдау , салыстыра білу қабілетін дамыту;

в) іздену, бақылау арқылы оқушылардың дүние таным қабілеттерін қалыптастыру.

Құрал-жабдықтар, көрнекті құралдар: тақырып бойынша

таблицалар,жаңа сабақ    бойынша мысалдар,

тест тапсырмалары.

Сабақтың типі: жаңа білім беру

Сабақтың әдісі: түсіндірмелі, практикалық.

Сабақтың  барысы:

 I.Ұйымдастыру кезеңі.Оқушыларды түгелдеп,

сабаққа назарын аудару. Сабақтың жоспарымен

таныстыру.

II.Үй тапсырмасын тексеру.

1)

Шешуі :   теңдеудің екі жақ бөлігін де квадраттаймыз:

 

 

Тексеру:  х=1 болса, онда 1=теңбе-теңдігін  аламыз;

ал   х=-2 болса , онда

. Олай болса -2 бөгде түбір.Жауабы:

2)

Шешуі:   түрінде жазып аламыз анықталу облысын анықтаймыз:    немесе  жиынымен анықталады.

теңдеуін  квадраттап . алатынымыз :  3-х=4х2-12х+9

немесе 4х2-11х+6=0.  Оның түбірлері  және

бұл түбірлердің біріншісі анықталу облысына енсе , ал екіншісі енбейді.

Жауабы:

Өткенді қайталау, еске түсіру.

1.Теңдеу дегеніміз не?

2.Теңдеудің қандай түрлерін білеміз?

3.Алгебралық теңдеулерге қандай теңдеулер жатады?

  1. Иррационал теңдеулер деп қандай теңдеулерді айтамыз?

 

III. Жаңа сабақты түсіндіру

Функцияның үздіксіздігі , монотондылығы  дегенді қалай түсінеміз?

     Теорема . Егер f`(x)  функциясы белгілі бір шекті  не шексіз аралықта анықталған үздіксіз монотонды функция болып , осы аралықта жатқан екі х=а   және х=в   нүктелерінде қабылдайтын мәндері  әр түрлі f(а)=A,f(в)=B  болса , онда осы мәндердің арасында жатқан кез келген С саны үшін, функцияның мәні –осы санға тең болатындай  f(x)=С  аралықтың ішінде жатқан тек бір ғана  нүктесі табылады.

Үздіксіз функцияның осы қасиеттерін пайдаланып  f(x)=С  ,(мұндағы f анықталу облысында үздіксіз функция )теңдеуінің нақты шешімдерінің санын анықтауға болады . Ол үшін біз мынандай амалдарды біртіндеп орындауымыз қажет.

1)f функциясының анықталу облысын табамыз.

     Айталық   D(f)=[a ,b]  болсын.

2) y=f(x) анықталу облысында үздіксіз және монотондылыққа зерттеп  алғаннан кейін  f функциясының  мәндерінің облысы  Е(f)=[A=f(x) ;B=f(x)]

анықтаймыз.

3) Енді  орындалатындығын тексереміз. Сонда үздіксіз монотонды функцияның  жоғарыдағы қасиетіне сәйкес берілген теңдеудің  тек бір ғана шешімі болады .Бұл шешімді практикада «іріктеп алу»әдісімен тапқан қолайлы.

4) Ал егерде шарты орындалатын болса , онда теңдеудің нақты шешімдері болмайды.

Сонымен мынандай қорытынды шығаруға болады. Егерде берілген теңдеулердің сол жағында тұрған сан осы теңдеудің мәндерінің облысында жататын болса ,онда  f  функциясының мәндерінің облысында жататын болса, онда f үздіксіз. Монотонды функция болғанда, теңдеудің тек бір ғана нақты шешімі бар болады . Бұл шарт орындалмаған жағдайда  теңдеудің нақты шешімі болмайды.

Демек, үздіксіз монотонды функцияның жоғарыдағы қасиетіне сүйеніп,берілген теңдеуді шешпестен бұрын бірден анықтауымызға болады.

1-мысал.Теңдеудің нақты шешімдерін анықтау керек .

                                  

Шешуі: Теңдеуді Ньютон –биномы формуласын қолданып , дәрежелеу арқылы шығаратын болсақ , онда күрделі радикалы бар бес мүшесі бар теңдеу келіп шығады. Демек , берілген теңдеуді түбірден құтқару әдісімен шешу мүмкін емес.

Егерде берілген теңдеуді көмекші белгісіз енгізу әдісі арқылы шығаратын болсақ , онда төртінші дәрежелі мынадай рационал теңдеулер жүйесі келіп шығады:

 

Демек, бұл теңдеуді бұл әдіспен шығару да қолайсыз.

Бұл теңдеуді функциялық әдіспен шығару әлдеқайда жеңілдеу.

Теңдеуді функциялық әдіспен шешу үшінy= +функциясын қарастырамыз.Бұл функция аралығында анықталған  үздіксіз  монотонды өспелі  функция.

Бұл функция өзінің ең кіші мәнін аргументіннің х=2-ге тең болатын мәнінде қабылдайды:ymin=y=Сондықтан

   Сонымен бірге,мұнда

Демек ,үздіксіз монотонды функцияның жоғарыдағы қасиетіне сәйкес

  теңдеуінің бір ғана нақты шешімі бар болады.

Теңдеудің бір ғана шешімінің x=3екендігін байқау қиын емес, өйткені  

    1+2=3                                                                                   Жауабы: x=3

2-мысал.Теңдеуді шеш:

Теңдеуді функциялық әдіспен шешу үшін  у=функциясын қарастырамыз . Бұл функция интервалында анықталған үздіксіз монотонды өспелі функция.  у  функциясы өзінің ең кіші мәнін аргументтің x=-1-ге тең болатын мәнінде қабылдайды :

 ;. Бұдан   . Сонымен бірге , мұнда .Демек үздіксіз монотонды функцияның жоғарыдағы қасиетіне сәйкес  теңдеуінің бір ғана  нақты шешімі  x=3 бар  болады.                                                             Жауабы: x=3

3-мысал .Теңдеуді шеш:

функциямыз [-1;+ арлығында үздіксіз және монотонды өспелі функция . бұл функция өзінің ең кіші мәнін аргументтің х=-1ге тең болатын мәнінде қабылдайды:

, бұдан . Сонымен бірге,мұнда 2[3;+Демек, үздіксіз монотонды функцияның қасиетіне сәйкес берілген теңдеудің нақты шешімдері болмайды.            Жауабы : .

 

Тест .

  1. Теңдеуді шешіңіз: .
  2. A) 1. B) 4. C) 6.         D) 5.                 E) 2.
  3. теңдеуінің шешімі жатқан аралық
  4. A) (3;7] B) (-5;5) C) [-7;1)       D) [-4;2)              E) [-3;1)
  5. Теңдеуді шешіңіз: .
  6. A) 2. B) 4.                 C) 0.                      D) 5.                             E) 1.

4 . Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

  1. A) (-1;-9),(-9;-1). B) (0;1),(1;0). C) (16;2),(2;16).
  2. D) (1;9),(9;1). E) (2;8),(8;4).
  3. функциясының графигі мына нүкте арқылы өтеді:
  4. A) K (-400; 20) B) Q (-900; 30) C) M (121; 11)
  5. D) P (25; -5) E) N (81; -9)

 

 

Оқушыларға тестпен бірге тексеру  кестесі таратылады :

А В С Д Е
1
2
3
4
5.

 

Дұрыс жауаптары

А В С Д Е
1 +
2 +
3 +
4 +
5. +

Тест жұмыстары инемен тесу әдісімен тексеріліп бірден жауабы айтылады.

 

Сабақты қорытындылау .

Үйге тапсырма . Оқушы дәптерімен жұмыс.